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《新新练案系列》2013-2014学年北师大版九年级数学上《第三章证明(三)检测题(2)》单元检测题附详解


第三章 证明(三)检测题
(本试卷满分:120 分,时间:120 分钟) 一、 选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1. 如图,在 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,若 BD、

AC 的和为 18 cm,CD︰DA=2︰3,△AOB 的周长为 13 cm,那么 BC 的长是( ) A.6 cm B.9 cm C.3 cm D.12 cm
学优中考 xYzkW

2. 一个等腰梯形的两底之差为 12,高为 6,则等腰梯形的锐角为( A.30° B. 45° C. 60° D. 75°



3. (2013·山东泰安中考)如图,在 ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线 与 BC 的延长线交于点 E,与 DC 交于点 F,且点 F 为边 DC 的中点,DG⊥ AE,垂足为 G,若 DG=1,则 AE 的长为( ) A.2 C.4 4.如图,在梯形 中点,若 A.4 cm 中, cm, B.5 cm B.4 D.8 ∥ ,∠ ∠ 90°, ( D.9 cm ) 分别是 ) 的

cm,那么 C.6.5 cm

5.直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离( A.相等 B.不相等 C.可能相等也可能不相等 D.无法比较 6.在平面中,下列命题为真命题的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.对角线相等的四边形是菱形 C.四个角相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

7.从菱形的钝角顶点,向对角的两条边作垂线,垂足恰好是该边的中点,则菱形 的内角中钝角的度数是( ) A.150° B. 135° C. 120° D. 100°

8.如图所示,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,OE∥DC 且交 BC 于点 E,AD=6 cm,则 OE 的长为( ) A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 9. 如图,四边形 ABCD 是矩形,F 是 AD 上一点,E 是 CB 延长线上一点, 且四边形 AECF 是等腰梯形,下列结论中,不一定正确的是( ) A.AE=FC B.AD=BC C.BE=AF D.∠E=∠CFD 10. (2013·山东聊城中考) 下列命题中的真命题是( ) A.三个角相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D.正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 11.已知菱形的周长为 40 cm,一条对角线长为 16 cm,则这个菱形的面积是 . 12.如图,EF 过平行四边形 ABCD 的对角线的交点 O,交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,已知 AB = 4,BC = 5,OE = 1.5,那么四边形 EFCD 的周长是 .

13.已知:如图,在平行四边形 ABCD 中,AB = 12,AB 边上的高 DF 为 3,BC 边上的高 DE 为 6,则平行四边形 ABCD 的周长为 . 14. (2013·山东烟台中考)如图, ABCD 的周长为 36,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 是 CD 的中点,BD=12,则△DOE 的周长为 .
xYzKw

15.已知菱形一个内角为 120°,且平分这个内角的一条对角线长为 8 cm,则这个菱形的周长 为 . 16. 如 图 , 把 两 个 大 小 完 全 相 同 的 矩 形 拼 成 “L” 型 图 案 , 则 ∠ ∠ ________. ________ ,

xYzKw

17. 已知菱形的边长为 6 ,一个内角为 60°,则菱形较短的对角线长是 . 18.如图所示,正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合,将△AEF 绕其顶点 A 旋转,在 旋转过程中,当 BE=DF 时,∠BAE 的大小可以是 .

二、 解答题(共 66 分)
19.(8 分)如图,在四边形 垂足为 , 中, , ⊥ , ⊥ ,

,求证:四边形

是平行四边形.

20. (8 分) 如图, 在△ 平分∠ 求证:四边形 ,交 于

中, ∠ ,交

, 于点 ,

⊥ ⊥

于 于

, ,

是菱形.

21.(8 分)如图,在正方形 交 于点 ,求证:

,过





,∠

30 ? ,

22.(8 分)辨析纠错 已知:如图,在△ 中, 是∠ 的平分线, ∥ , ∥ 求证:四边形 是菱形.对于这道题,小明是这样证明的: 证明:∵ 平分∠ ,∴ ∠1=∠2(角平分线的定义). ∵ ∥ ,∴ ∠2=∠3(两直线平行,内错角相等). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴ (等角对等边).同理可证 ,

.

∴ 四边形 是菱形(菱形定义). 老师说小明的证明过程有错误,你能看出来吗? (1)请你帮小明指出他的错误是什么?(先在解答过程中标出来,再说 明他错误的原因) (2)请你帮小明做出正确的解答.

23. (8 分)如图,在 的度数.

中,

,点 E 为

中点,求∠

24.(8分)如图,在△

中,∠

0°,BC 的垂直平分线DE交BC于 .

点D,交AB于点E,F在DE上,且 ⑴求证:四边形 是平行四边形;

⑵当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?并说明理由.

25.(8 分) (2013· 山东聊城中考)如图,在四边形 ABCD 中,∠A=

∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为 E.求证:AE=CE.

26. (10 分) (2013·山东临沂中考)如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中 点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF. (1)求证:AF=DC; (2)若 AB⊥AC,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论.
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第三章 证明(三)检测题参考答案
1.A △ 解析:因为 的 周 长 为 13 cm , 所 以 ,所以 2.B 高 3. B 解析:如图,在梯形 ABCD 中, 则 所以∠ ,故选 B. cm,所以 cm. 又 因 为 cm. cm. 因为

解析:∵ AE 是∠BAD 的平分线,∴ ∠BAE=∠DAE.在 ABCD 中,∵ AB∥CD,∴ ∠BAE=∠AFD=∠DAE,∴ AD=DF. ∵ 点 F 是 CD 的中点,AB=CD=4,∴ DF=AD=2.在 Rt△ADG ,∴ AF=2 .∵ AD∥BE,∴ ∠ADF=∠FCE. ,∴ AE=4 ,所以∠ .又因为 cm, . .因

中,∵ DG=1,AD=2,∴ AG=

又∵ DF=CF,∠AFD=∠EFC,∴ △ADF≌△ECF,∴ EF=AF=2 4.A 解析:如图,作 EG∥AB,EH∥DC,因为∠ 和四边形 都是平行四边形,所以 cm, cm,所以 ∠

为四边形

,根据直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得

cm.

5.A 解析:如图,在直角梯形 是梯形 线,所以 的中位线,所以 . ∥

中, 是 ,即

的中点,设 是 ⊥ .又

的中点,连接 ,所以 是

,则 E

的垂直平分

6. C 解析:四边相等的四边形不一定是正方形,也可能是菱形,故选项 A 错误; 对角线相等的四边形不一定是菱形,也可能是矩形,等腰梯形,故选项 B 错误; 四个角相等的四边形是矩形,故选项 C 正确;

对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,故选项 D 错误. 7.C 解析:如图,在菱形 ,所以 是 中 ⊥ 连接 ,

因为 三角形

的垂直平分线,所以 ,从而∠

,所以 .

是等边三角形,所以∠

8. C 解析:OE= AB= AD= ×6=3(cm). 9. C 解析:由等腰梯形的条件可知 A 正确;由四边形 ABCD 是矩形,可知 B 正确;又∠E= ∠FCB,由 AD//BC 得∠CFD=∠FCB,故∠E=∠CFD,D 正确;只有 C 不一 定正确. 10. C 解析:判断一个命题是否为真命题,需要分析题设是否能推出结论,进 而利用排除法得出答案.不是真命题的可以利用反例排除:三个角相等的四 边形不一定是矩形,例如三个角分别为 80°,第四个角为 120°的四边形不 是矩形,故选项 A 错误;如图,对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正 方形,故选项 B 错误;正五边形只是轴对称图形,不是中心对称图形,故选 项 D 错误;对于选项 C,由三角形的中位线性质和矩形的性质以及菱形的判定,可得本选 项正确. 11. 解析:如图,菱形 ABCD 的周长为 40 cm, cm, cm,又 OA⊥OB,所以 =96 cm2. cm,则 cm,AC = 12 cm,

所以菱形的面积为

12.12 又∠

解析:由平行四边形 ∠

可得 ≌△

,∠ ,所以

∠OCB,

,所以△


.

,所以四边形



周长为 13.36 解得 14. 15 解析:由平行四边形的面积公式,得 ,所以平行四边形 的周长为

,即 .



解析:本题综合考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线定理.∵ 点 E,O 分

别是 CD,BD 的中点,∴ OE 是△DBC 的一条中位线,∴ OE= BC,∴ △DOE 的周长

=OE+DE+OD= BC+ CD+ BD= (BC+CD)+6=

ABCD 的周长+6=9+6=15.

15.32 cm 解析:由菱形有一个内角为 120°,可知菱形有一个内角是 60°,由题意可知菱形的 边长为 8 cm,从而周长为 (cm).

16.90°,45° 解析:通过证明△FGA≌△ABC 可得. 17.6 解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形,所以较短的对角线长为 6. 18. 15°或 165° 解析:如图(1)所示,∵ AB=AD,BE=DF,AE=AF, ∴ △ABE≌△ADF,∴ ∠BAE=∠DAF= (∠BAD-∠EAF)=

(90°-60°)=15°.如图(2)所示,易证△ABE≌△ADF,

∴ ∠BAE=∠DAF.∴ ∠BAF=∠DAE= (360°-∠BAD -

∠ EAF)=

(360°-90°-60°)=105°,

∴ ∠BAE=∠BAF+∠EAF=105°+60°=165°. 19. 证明:因为 DE⊥AC,BF⊥AC,所以∠ 因为 又因为 所以∠ 又因为 20. 证明:∵ ∵ 又∠ 又 又 ∥ ∠ ,所以 . ∠ .

,所以△ADE≌△CBF,
∠ ,所以 AD∥BC. ,所以四边形 ABCD 是平行四边形. 平分∠ , , ∴ ,∴ ∠ ∥ ∠ . ∴ ∠ , 得 ∴ ∠ , ∴ . . .

,得四边形 ,∴ 四边形 交 ,∴

是平行四边形. 是菱形. 于

21. 证明:连接 ∵ ∠

于点 ,作



∵ 又 又 又∠

⊥ ∥





, ∴

G∥ . . ∠ E,∴

,∴ 四边形 ,∴ ∠ ∠

D 是矩形, ∴ ,∴ ∠ ,∴ ∠

22. 解:⑴小明错用了菱形的定义,标记略. ⑵改正:∵ ∵ 平分∠ ∥ , ∥ ,∴ 四边形 是平行四边形.

,∴ ∠1=∠2.

又∵ ∠3=∠2,∴ ∠1=∠3. ∴ ,∴ 平行四边形 为 ,∴ ∠ ,∠ ∠ . . , , 中点,∴ 是菱形.

23. 解法 1:∵ ∵ ∴ ∠ ∵ 四边形 又 ∴ ∴ ∴

1 BC. 2

是平行四边形,∴

.

解法 2:如图,设 F 为 AD 的中点,连接 EF. 因为 又因为 所以∠ 同理,∠ ∠ ∠ ,所以 ∥

,所以四边形

是菱形.

所以∠



24.(1)证明:由题意知 , ∴ ∥ ,∴ . ∵ ,∴ . 又∵ ,∴ △ ≌△ ,∴ , ∴ 四边形 ACEF 是平行四边形 . (2)解:当∠ 时,四边形 是菱形 .理由如下: ∵ ∵ 又∵ 垂直平分 ,∴ , ∴ 四边形 是菱形.

1 AB . 2

25.分析:因为 AE 与 CE 不在同一个三角形内,所以考虑添加辅助线,构 造全等三角形,通过证明两个三角形全等进而得到 AE=CE. 证明:过点 B 作 BF⊥CE 于点 F. ??CED ? 90?.

?A ? ?BCD ? 90?, CE ? AD,??CED ? 90?.
∴ ∠1+∠2=90°,∠D+∠2=90°, ∴ ∠1=∠D. 又 BC=CD,∴ Rt△BCF≌Rt△CDE(AAS). ∴ BF=CE. ∵ ∠A=∠AEF=∠EFB=90°, ∴ 四边形 ABFE 是矩形.∴ BF=AE,∴ AE=CE. 26.分析: (1)先证出△AFE≌△DBE,可得 AF=DB,又 DB=DC,从而 AF=DC; (2)先证 明四边形 ADCF 是平行四边形,再由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 AD=CD,从而得出四边形 ADCF 是菱形. (1)证明:∵ E 是 AD 的中点,∴ AE=ED. ∵ AF∥BC,∴ ∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE. ∴ △AFE≌△DBE, ∴ AF=DB. ∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ DB=DC,∴ AF=DC. (2)解:四边形 ADCF 是菱形. 理由:由(1)知,AF=DC, ∵ AF∥CD,∴ 四边形 ADCF 是平行四边形. 又∵ AB⊥AC,∴ △ABC 是直角三角形. ∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ AD= BC=DC.∴ 平行四边形 ADCF 是菱形. 点拨: (1)三角形全等是证明线段相等最常用的方法; (2)判定一个四边形是菱形最常 用的方法是先证它是平行四边形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直,或直接证四 边形的四条边相等.



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