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2019-2020年高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前N项和同步训练新人教B版必修


2019-2020 年高中数学第二章数列 2.2.2 等差数列的前 N 项和同步训练新

人教 B 版必修

5 分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前 10 项的和 S10 等于( )

A.100

B.210

C.380

D.400

解析:d==4,a1=3,所以 S10=210.

答案:B

2.计算:1+2+3+…+300=____________.

解 析 : 这 是 一 个 300 项 的 等 差 数 列 的 求 和 , a1=1,an=300,n=300 , 可 利 用 公 式 :

Sn= n(a1 ? an ) ? 300(1 ? 300) =45 150.

2

2

答案:45 150

3.计算:3+5+8+11+…+299=____________.

解析:数列 5,8,11, …,299 是个等差数列,且首项是 5,末项是 299,公差是 3.根据公

式:=d,将 an=299,a1=5,d=3 代入上式,可得:n=99.

所以,5+8+…+299==15 048.

所以 3+5+8+11+…+299=15 048+3=15 051.

答案:15 051

4. 一 同 学 在 电 脑 中 打 出 如 下 若 干 个 圆 ( 图 中 ● 表 示 实 圆 , ○ 表 示 空 心 圆 ):

●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○……若将此若干个圆依此规律继续下去得到

一系列圆,那么在前 2 005 个圆中有____________个空心圆.

解 析: 这是因为把空心圆取出来 的位置构成数列 2, 5,9, 14 ,…,于是数列 满足

an=an-1

n=a1+2+3+…+n+n+1=+n=.故在 2 005 前计算数值 n=61 时,小于 2 005;当 n=62

时,大于 2 005.故应为 61 个空心圆.

答案:61

10 分钟训练(强化类训练,可用于课中)

1.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于( )

A.160

B.180

C.200

D.220

解 析 : (a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=(-24)+78=54 , 又 a1+a20=a2+a19=a3+a18, 则

3(a1+a20)=54,∴a1+a20=18,则 S20==10×18=180.

答案:B

2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若等于,则等于( )

A.

B.

C.

D.

解析:由等差数列的求和公式可得,可得 a1=2d 且 d≠0,所以 S6 ? 6a1 ? 15d ? 27 d ? 3 , S12 12a1 ? 66d 90d 10
故选 A. 答案:A 3.设公差不为零的等差数列{an},Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 S23=9S2,S4=4S2,则数列{an} 的通项公式为____________.

解析:设数列{an}的公差为 d(d≠0),首项为 a1,由已知得: ??(3a1 ? 3d )2 ? 9(2a1 ? d ),解 ?4a1 ? 6d ? 4(2a1 ? d ).

之得:a1=,d=或 a1=d=0(舍). ∴an=a1+(n-1)d=+(n-1)×= (2n-1). 答案:an= (2n-1) 4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2-2·3n,则通项公式 an=____________. 解析:当 n=1 时,a1=S1=2-2·31=-4. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2-2·3n)-(2-2·3n-1)=-4·3n-1. 此时对 n=1 时有:a1=-4·31-1=-4,也适合。综上,对 n∈N*,an=-4·3n-1. 答案:-4·3n-1

5.一凸 n 边形各内角的度数成等差数列,公差是 10°,最小内角为 100°,求边数 n.

解:由(n-2)·180=100n+×10, 求得 n2-17n+72=0,n=8 或 n=9,

当 n=9 时,最大内角 100+(9-1)×10=180°不合题意,舍去,∴n=8.

6.已知数列{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,求证:S6,S12-S6,S18-S12 成等差数列. 解:设{an}首项是 a1,公差为 d. 则 S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∵S12-S6=a7+a8+a9+a10+a11+a12= (a1+6d)+(a2+6d)+(a3+6d)+(a4+6d)+(a5+6d)+(a6+6d)=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+36d=S6+36d S18-S12=a13+a14+a15+a16+a17+a18= (a7+6d)+(a8+6d)+(a9+6d)+(a10+6d)+(a11+6d)+(a12+6d)= (a7+a8+a9+a10+a11+a12)+36d=(S12-S6)+36d, ∴S6,S12-S6,S18-S12 是以 36d 为公差的等差数列. 30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1.等差数列{an}中,S10=4S5,则 a1∶d 等于( )

A.

B.

C.2

D.4

解析:直接代入等差数列前 n 项和公式,即可.

10a1+ 10(10 ?1)d 2

?

4[5a1

?

5(5 ?1)d ] ,整理得:10a1=5d 可求. 2

答案:B

2.一个凸 n 边形各内角的弧度数成等差数列,最小角为,公差为,则 n 的值为( )

A.9

B.16

C.9 或 16

D.与 A、B、C 均不相同

解析:由题意可得(n-2)π =n·+·n2-25n+144=0 (n-9)(n-16)=0n=9 或 n=16.

而当 n=16 时,a16=+(16-1)×=>π ,与凸多边形矛盾.

答案:A

3.设数列{an}是等差数列,且 a2=-6,a8=6,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则( )

A.S4<S5

B.S4=S5

C.S6<S5

D.S6=S5

解析:方法一:设该等差数列的首项为

a1,公差为

d,则有

???aa11

? ?

7dd???66.,解得???da1

? ?8, ? 2.

从而有 S4=-20,S5=-20,S6=-18. 方法二:由等差数列的性质知 a5+a5=a2+a8=-6+6=0,所以 a5=0,从而有 S4=S5. 答案:B

4.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动,共获得捐款 1

200 元.他们第 1 天只得到 10 元,之后采取了积极措施,从第 2 天起,每一天获得的捐款都

比前一天多 10 元.这次募捐活动一共进行了____________天( )

A.14

B.15

C.16

D.17

解析:由题意可知,每天获得的捐款数组成一个等差数列,记作{an},其中 a1=10,d=10,

由 10n+×10=1 200,解得 n=15.

答案:B

5.等差数列{an}的公差 d<0,且 a12=a112,则数列的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是( )

A.5

B.6

C.5 或 6

D.6 或 7

解析:由 a12=a112,得(a1+a11)(a1-a11)=0.又∵d<0,∴a1+a11=0,即 a6=0.∴S5=S6 且最大.

答案:C

6.已知无穷等差数列{an}中,它的前 n 项和为 Sn,且 S7>S6,S7>S8,则( )

A.{an}中 a7 最大

B.{an}中 a3 或 a4 最大

C.当 n≥8 时,an<0

D.一定有 S3=S11

解析:∵S7>S6,∴S7-S6>0,即 a7>0.同理,∵S7>S8,∴a8<0.∴d<0,即 n≥8 时,an<

0.数列是个单调递减数列,最大项是第一项.故选 C.

答案:C

7.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项的和为 Sn,则数列{}的前 10 项的和为( )

A.120

B.70

C.75

D.100

解析:∵an=2n+1,∴Sn= n(a1 ? an ) ? n(3 ? 2n ? 1) =n(n+2).

2

2

∴=n+2,数列{}为等差数列,其首项为 3,公差为 1,其前 10 项的和 S10′=10×3+×1=75. 答案:C 8.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项 an;(Ⅱ)若 Sn=242,求 n. 解:(Ⅰ)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组 解得 a1=12,d=2.所以 an=2n+10. (Ⅱ)由 Sn=na1+d,Sn=242 得方程 12n+×2=242. 解得 n=11 或 n=-22(舍去). 9.设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 S4=-62,S6=-75,求: (1)通项 an 及前 n 项和 Sn;(2)求|a1|+|a2|+…+|a14|的值. 解:(1)设数列的公差为 d,由 S4=-62,S6=-75,得解得 ∴an=3n-23,Sn=. (2)由 an=3n-23≤0n≤,∴n=7. ∴ 前 7 项 为 负 .∴|a1|+|a2|+ … +|a14|=-(a1+a2+ … +a7)+(a8+a9+ … +a14)=-S7+S14-S7=S14-2S7=147. 10.如右图,是一人出差从 A 城出发到 B 城去,沿途可能经过的城市的示意图,通过两城市 所需时间标在两城市之间的连线上(单位:时),试求此人从 A 城出发到 B 城所需时间最少为 多少小时?

解:设各城市至 B 城市所需时间的最短时数为 S(x),x 为城市记号,则: S(E1)=12,S(E2)=18, S(D1)=17+S(E1)=29, S(O2)=min{10+S(E1),5+S(E2)}=22, S(D2)=9+S(E2)=27, S(C1)=min{6+S(D1),13+S(O2)}=35, S(C2)=min{11+S(O1),7+S(D2)}=33, S(A)=min{14+S(C1),15+S(C2)}=48. 故从 A 城到 B 城所需时间最少为 48 小时,其最短的路线是:A—C2—O2—E1—B.



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